تغییرپذیری حرکت فراکتال هرج و مرج

یک حرکت سالم ، طبیعی و تطبیقی دارای پویایی فراکتال است. به محض شروع آشفتگی های قصد یا خارجی ، این پویا تغییر می کند و جنبش مصنوعی تر و سازگار تر می شود. آیا می توان پویایی فراکتال را به صورت هدف تعدیل کرد و پیامدهای عملی و زیبایی شناختی چیست؟

حرکت طبیعی ، فراکتال ها و هرج و مرج

مطالعات نشان داده است که بدن ما به آرامی در حال چرخش است وقتی که ما هنوز در حالت آرامش آرام ایستاده ایم ، و این که نوسان دارای خواص فراکتالی است [1] [2]. نوسانات فراکتال ثابت ، تنوع سالم را نشان می دهد که امکان سازگاری با تغییرات محیطی را فراهم می کند [3] [14].

فراکتال (در این زمینه) به این معنی است که پویایی حرکت با گذشت زمان دارای شکل خودآموزی است که در هر مقیاس مشابه خواهد بود: خواه ما فقط برای مدت کوتاهی یا برای مدت زمان طولانی حرکت را مشاهده کنیم. بسیاری از حرکات با دامنه کوچک و تعداد کمی از آنها وجود خواهد داشت ، اما تعداد قابل توجهی از دامنه های بزرگ. از نظر ساده ، این بدان معناست که کسی که حرکت او فراکتال است ، الگوهای نوسان را در مقیاس بسیار کوچک (به عنوان مثال ، دستها به آرامی حرکت می کنند) و همچنین در مقیاس بزرگ (به عنوان مثال ، دامنه بالاتر ، حرکت سریعتر) تکرار می کند. این دینامیک همچنین به عنوان "هرج و مرج" یا نمایش پویایی 1/F (قدرت-قانون) به عنوان "هرج و مرج" گفته می شود.

یکی دیگر از درک بصری تر از فراکتال ها وقتی به تصویر زیر نگاه می کنیم که رومانسکو و سیب را نشان می دهد. اندازه سرهای رومانسکو متفاوت است ، اما اگر آنها را با فرکانس ترسیم کنیم ، خواهیم دید که آنها از یک قانون پیروی می کنند: هرچه سر بزرگتر باشد ، کمتر به نظر می رسد. از طرف دیگر ، سیب ها نیز ممکن است همه شکل های مختلفی داشته باشند اما انحراف آنها از میانگین کم و بیش یکسان است:

این جنبش ممکن است متنوع و پر سر و صدا به نظر برسد ، اما تصادفی نیست زیرا بین نوسانات کوتاه مدت و بلند مدت رابطه وجود دارد. بسیاری از تغییرات کوچک وجود خواهد داشت و تجمع آنها با یک تغییر بزرگ گاه به گاه دنبال می شود ، که به نوبه خود ، سیستم را به حالت جدید تغییر می دهد یا آن را به حالت نوسان دامنه کم باز می گرداند. به همین دلیل سیستمی که فراکتال است نیز سازگار است: می تواند یک ضربه ورودی را در خود جای دهد و بر این اساس تغییر کند.

حالت دیگر تصادفی خالص است و "سر و صدای سفید" نامیده می شود ، زیرا وضعیت و رنگ خاصی ندارد. نسبت نوسانات کوچک و بزرگ کم و بیش یکسان است ، مهم نیست که در چه مقیاسی (دوره زمانی) قرار می گیریم. کوتاه مدت و بلند مدت ارتباط برقرار نمی کنند ، به این معنی که سیستم هیچ خاطره ای ندارد و اقدامات گذشته هیچ تاثیری در آینده ندارد. 0 توسط 1 دنبال خواهد شد ، مجموعه ای از نوسانات در یک جهت توسط یک سری از نوسانات در دیگری دنبال خواهد شد - نوعی تعادل ایده آل ، آنتروپی حداکثر ، که با زندگی ناسازگار است.

به اندازه کافی جالب ، محققان نشان داده اند که وقتی بدن تنش یا در حالت اضطراب است ، "سفید کردن" سیگنال از دینامیک فراکتال "نویز صورتی" طبیعی آن وجود خواهد داشت [2]. بنابراین هرچه بدن سازگار تر و تنش بیشتری پیدا کند ، کمتر فراکتال و تصادفی تر می شود (سر و صدای سفید). دامنه نوسانات بزرگ در حالی که فرکانس آنها افزایش می یابد کاهش می یابد. سیستم بدنه حافظه خود را از دست می دهد. تأثیرات مختلف یکدیگر را لغو می کند. هرگونه ضربه ورودی با قصد روشن ، اثر مستقیم و قابل پیش بینی ای خواهد داشت مگر اینکه توسط آنتروپی سر و صدای سفید جذب شود.

دینامیک فراکتال نه تنها در حرکت بدن یافت می شود. همچنین در گفتار [4] ، تحرک در محیط های پیچیده [5] ، الگوهای علوفه ای حیوانات [6] ، و همچنین تغییر خلق و خو ، پویایی شناختی [7] ، ضربان قلب و پویایی مغز وجود دارد [12]بشرعلاوه بر این ، دینامیک فراکتال نشانه ای از وضعیت سالم و سازگار بدن محسوب می شود. به عنوان مثال برای تشخیص آسیب شناسی قلب استفاده می شود.

به طور کلی ، به نظر می رسد که هر فرآیند "طبیعی" که توسط تکامل ایجاد شده است ، دارای خواص فراکتالی است ، به همین دلیل ممکن است تقلید و تعدیل این پویایی جالب باشد ، تا حرکت را "طبیعی" تر و سازگار تر در ابتدایی ترین شکل خود کند. اما چگونه فراکتال ها و هرج و مرج ظاهر می شوند؟

هرج و مرج و فراکتال از کجا آمده است

دلایل مختلفی برای ظهور هرج و مرج و خصوصیات فراکتال در یک سیستم پویا وجود دارد.

اجماع این است که رفتار فراکتالی هرج و مرج نشانگر این است

• وجود حافظه در یک سیستم
• چندین فرآیند متقابل اساسی که در وضعیت "رقابت بدون برنده" وجود دارد (یعنی تنفس ، ضربان قلب ، راه رفتن) ، جایی که هیچ کس بر دیگران غلبه نمی کند.
• رفتار تطبیقی تحت تأثیر عوامل و بی ثباتی بیرونی [8]

هنگامی که عمد یا موانع بیرونی ظاهر می شوند، رفتار کمتر فراکتال می شود. به عنوان مثال، راه رفتن انسان به طور طبیعی دارای خواص فراکتالی است. با این حال، به محض ظهور آسیب شناسی ها یا موانع، کیفیت فراکتال از بین می رود [9] [10].

بنابراین، دینامیک آشفته (یا فراکتال، 1/f "صدای صورتی") یک سیستم تطبیقی را نشان می دهد که تحت تأثیر چندین فرآیند متقابل اساسی است. غیرقابل پیش بینی بودن آن ممکن است تصادفی به نظر برسد، اما دارای همبستگی های طولانی است: آشفتگی های کوچک در نهایت بر ظهور بزرگترها تأثیر می گذارد و بالعکس. تنوع ذاتی چنین سیستمی این امکان را برای آن فراهم می کند که به یک تغییر خارجی به روشی سریع و کارآمد پاسخ دهد. بنابراین، هرج و مرج ممکن است یک استراتژی تکاملی باشد که توسط یک سیستم به دست می آید، زیرا به آن اجازه می دهد در یک محیط در حال تغییر زنده بماند و توسعه یابد.

جالب توجه است، مطالعات نشان داده اند [11] که الگوهای پیچیده ای که در طبیعت به وجود می آیند نتیجه ناپایداری پایدار هستند (برای اطلاعات بیشتر به این ویدیوی زیبا مراجعه کنید). پدیده های متنوعی مانند دانه های برف، بستر رودخانه ها، الگوهای رشد مارپیچی به دلیل ناپایداری های سیستمی در یک دوره زمانی طولانی به وجود می آیند و ساختارهای فراکتالی مشابه خود را تشکیل می دهند. در حالی که این نتیجه ناپایداری است، اما گواهی بر این واقعیت است که سیستم از طریق سازگاری خود توانسته است بر این بی ثباتی غلبه کند و در وضعیت پایدار غیرتعادلی قرار گیرد.

اکنون که ویژگی های اصلی دینامیک آشفته، دلایل پیدایش و فرآیندهای زیربنایی آن را می دانیم، بیایید ببینیم چگونه می توانیم این پویایی را از طریق حرکت با استفاده از بدن فیزیکی تعدیل کنیم.

تعدیل فرکتالیته و حرکت طبیعی

بسیاری از شیوه های مختلف آرزوی حرکت به روش "طبیعی" را دارند. رویکردهای درمانی، مانند تکنیک الکساندر و روش فلدنکریس، ژیمناستیک نوگوچی تایسو، اشکال مختلف رقص، و هنرهای رزمی در مورد حرکت "طبیعی" به عنوان هدف نهایی صحبت می کنند.

از آنجا که تعریف ما از "طبیعی" اغلب ذهنی است ، در بخش های قبلی ، ما یکی از تفسیرهای عینی احتمالی این اصطلاح را نشان داده ایم. فرض اصلی رویکرد ما این است که این واقعیت را تصدیق کنیم که وقتی "هیچ کاری" نمی کنیم ، بدن ما به طور طبیعی به روشی حرکت می کند که پویایی فراکتال داشته باشد. ما مشخص کرده ایم که "فراکتال" در این زمینه به معنای حرکت خودی است که در مقیاس های مختلف خودکشی است. ما همچنین نشان داده ایم که هدف از این آتش نشانی غلبه بر بی ثباتی و سازگاری با یک محیط در حال تغییر است. با این حال ، نه تنها مفید است ، بلکه زیبا نیز هست ، بنابراین هم از نظر اخلاقی و هم از نظر زیبایی شناسی جالب است. چگونه می توانیم به روشی فراکتال حرکت کنیم؟

از نظر ساده ترین ، جنبش فراکتال مانند جانشینی بسیاری از حرکات دامنه کوچک با تعداد کمی اما تعداد قابل توجهی از تغییرات گاه به گاه بزرگ به نظر می رسد. قدرت دامنه ممکن است از طریق سرعت بلکه از طریق اندازه حرکت ، موقعیت آن در فضا ، جهت گیری ، حتی طول مکث بین حرکات بیان شود. ممکن است سیستم های مختلف مختصات وجود داشته باشد ، و هرکدام چشم انداز فراکتال خاص خود را ارائه می دهند.

به منظور شناسایی آتش سوزی جنبش از نظر ریاضی خالص ، ما رویکردی را که در علوم پزشکی به نام تجزیه و تحلیل نوسان دفع شده (DFA) استفاده شده بود ، اتخاذ کردیم [13]. این رویکرد برای یک سری زمانی نمره نمره آلفا ایجاد می کند (در ابتدا-تغییرات بین ضربان قلب که در طی یک دوره زمانی اتفاق می افتد). مقدار نمره نشان می دهد که آیا حرکت تصادفی است ، همبستگی مثبت / منفی دارد ، خصوصیات فراکتال را نشان می دهد یا پیچیده است.

بنابراین ، یک شخص یا گروهی از افراد می توانند داده های حرکت خود (از طریق یک سنسور) را به یک الگوریتم پردازش ارسال کنند ، که سری زمانی حاصل را با استفاده از رویکرد DFA تجزیه و تحلیل می کند. سپس بسته به اهداف آنها ، می تواند نماینده آلفا را که می تواند توسط شرکت کنندگان برای تنظیم یا تغییر کیفیت حرکت آنها استفاده کند ، تحویل دهد.

به عنوان مثال ، اگر هدف این باشد که بسیار سازگار ، "طبیعی" و از نظر جسمی متنوع باشید ، آنها سعی می کنند جزء آلفا را نزدیک به 1 (که دارای خاصیت فراکتال است) به ثمر برسانند. اگر از طرف دیگر ، آنها برای مدت طولانی در منطقه فراکتال بمانند و دوست دارند تصادفی ریاضی را کشف کنند - آنچه احساس می کند و به نظر می رسد - آنها هدف از آلفا از 0. 5 (سر و صدای تصادفی) خواهند بود.

به طور کلی ، 4 حالت کلی مختلف وجود دارد ، که می توانند با استفاده از نمایندگی آلفا محاسبه شده با استفاده از رویکرد تجزیه و تحلیل نوسان محاسبه شده شناسایی شوند:

• تصادفی - به این معنی که حرکات به طور متوسط در حال نوسان هستند (0
• منظم ، همبستگی-به این معنی که هرچه بیشتر به نظر می رسیم ، احتمال بیشتری برای دیدن نوسانات بزرگ وجود دارد
• فراکتال ، عاری از مقیاس-انحراف نوسانات در مقیاس کوچک دارای الگوی مشابهی در مقیاس طولانی است (0. 85
• complex, non-stationary — meaning the movement quality changes drastically (alpha>1. 15~1. 50)

خود حرکت بسته به امتیاز ، کیفیت متفاوتی خواهد داشت.

به عنوان مثال ، ما در طول جلسات هشت پا مشاهده کرده ایم که در طی اقدامات روزمره یا رقص "عادی" ، نماینده DFA Alpha در حدود 0. 7-0. 8 باقی می ماند و این نشانگر یک فعالیت منظم و منظم و منظم است.

با این حال ، هنگامی که حرکت تکراری تر می شود (به عنوان مثال ، لک زدن ، رقصیدن به تکنو ، حرکت نماز تکراری) ، نماینده آلفا به 0. 5 نزدیکتر است ، بنابراین نشانگر بیشتر پویایی تصادفی است ، که واقعاً به معنای عدم همبستگی خود است (این است. به سادگی 1 یا 0 ، بالا یا پایین ، حرکت یا سکون ، نوسان در حدود یک مقدار متوسط - تفاوت بین حرکات خیلی تلفظ نمی شود).

تغییر فاز بزرگ و تغییرات در کیفیت حرکت در حدود 1. 2 - 1. 5 آلفای نمایه خواهد شد.

حرکتی که دارای تنوع فراکتال است ، جایی که جانشینی حرکات کوتاه مدت (یا تغییرات کوچک و آهسته) توسط چند نوسانات بزرگ دنبال می شود و جایی که این الگوی مشابه هم در یک دوره کوتاه و هم در یک دوره زمانی طولانی دیده می شود ،نمره DFA Alpha Exponent نزدیک به 1 و پویایی فراکتال را نشان می دهد. جالب اینجاست که این پویایی همان زمانی نشان داده می شود که شخص هنوز در حالت آرامش ایستاده و در حالت استراحت و بدون تنش آشفتگی قرار دارد و ما را به رابطه "طبیعی" و "فراکتال" که قبلاً در مورد آن صحبت کردیم ، بازگرداند. هنگامی که ما شروع به حرکت به هدف می کنیم ، گرفتن دینامیک فراکتال بسیار سخت تر است ، با این حال ، تنوع بالایی دارد و تنوع آن از نوع بسیار خاصی است.

در اینجا نحوه نگاه این جنبش در زندگی واقعی آمده است:

اگر می خواهید در مورد نحوه عملکرد الگوریتم DFA از دیدگاه ریاضی اطلاعات بیشتری کسب کنید ، لطفاً به پیوست زیر مراجعه کنید. اکنون ما نشان خواهیم داد که چگونه DFA در نرم افزار سیستم عامل بدنه هشتOS و نحوه استفاده از آن برای تعدیل دینامیک فراکتال در جلسات ما استفاده می شود.

سیستم توصیه کننده حرکت هشت پا

در چارچوب مطالعه ما از دینامیک فراکتال ، ما یک رویکرد حرکتی ویژه ایجاد کرده ایم که در طول جلسات فیزیکی زنده با استفاده از بازخورد زنده از الگوریتم اجرا می کنیم.

توصیه کننده جنبش با منبع باز هشتOS (در GitHub) سری زمانی حرکات انسانی را تجزیه و تحلیل می کند و با استفاده از الگوریتم تجزیه و تحلیل فراکتال (DFA) ، آتش سوزی آن را تشخیص می دهد.

می تواند 4 ایالت وجود داشته باشد:

• تصادفی،
• سازمان یافته ،
• فراکتال ،
• پیچیده

ما فرض می کنیم که می توان از طریق هر یک از این ایالت ها در حالی که در هر یک از آنها برای مدت زمان کافی ماندگار هستیم ، جالب باشد.

بر اساس آن داده ها ، خواهیم دید که وضعیت فعلی چیست و چه بوده است. اگر مدت زمان طولانی خیلی منظم باشد ، الگوریتم توصیه می کند که برخی از تغییرپذیری یا تکرارپذیری فراکتال را وارد کنید. اگر خیلی فراکتال باشد ، الگوریتم توصیه می کند که آن را کمی منظم تر ، تکراری یا معرفی فاز معرفی کنید. اگر خیلی منظم بوده است ، ما پیشنهاد می کنیم دوباره آن را مختل کنیم.

همانطور که در بالا به آن اشاره شد ، دینامیک سالم دارای خواص فراکتالی است ، در حالی که آسیب شناسی ، تنش یا موانع محیطی که به روشی تطبیقی مورد بررسی قرار نمی گیرند ، اغلب باعث می شود سیگنال کمتر فراکتال و تصادفی تر شود. بنابراین ، رویکرد ما به ما کمک می کند تا ظهور آسیب شناسی را در یک حرکت تشخیص دهیم و یا پویایی را به سمت سازگار برگردانیم ، یا برعکس ، آسیب شناسی را کشف کنیم ، مشاهده کنیم که چگونه احساس می شود ، چگونه به نظر می رسد و چگونه حرکت می کند.

این توصیه را می توان با استفاده از یک دستورالعمل ، نمادی تولید شده توسط نرم افزار ، با یک نشانه فیزیکی ، صوتی یا بصری انجام داد. شخص سپس می تواند سیگنال را "بخواند" و آن را به روش خود تفسیر کند: یا "درک" آنچه اتفاق می افتد را درک کرده و این درک را در آنچه انجام می دهند ، برای برکناری خود ، یک تجربه زیبایی شناختی یا به سادگی تغییر دهیدآنها در تلاشند تا به یک کشور دیگر برسند.

ما از این طرح تنوع هشت ساله پیروی می کنیم:

از نظر فنی ، یکی از پیاده سازی های ممکن با استفاده از سنسورهای XSENS DOT ، که به شرکت کنندگان در حال شرکت در یک جلسه حرکات بدنی هستند ، انجام می شود. از یک نسخه اصلاح شده از سرور XSENS DOT (که ما آن را کنترل Fractal HightoS می نامیم) برای ضبط سیگنال شتاب دهنده از سنسورهای XSENS DOT (ورود به یک پرونده CSV) استفاده می شود و سپس آن را از طریق سیگنال OSC به درگاه/میزبان مشخص شده ارسال می کند. سپس OSC به یک ساز موسیقی (از طریق Usine) ارسال می شود تا یک بازخورد صوتی مستقیم در مورد حرکت ارائه دهد.

نرم افزار ما همچنین تجزیه و تحلیل نوسان دفع شده را به سیگنال اعمال می کند و نمایشگر مربوط به آن را محاسبه می کند ، که نشان می دهد سیگنال Fractal چگونه است.

این هم برای هر سنسور و هم برای گروه سنسورها محاسبه می شود تا وضعیت فردی هر سنسور و حالت مشترک را برای همه سنسورها بشناسند.

نماینده آلفا در

• در حدود 0. 5 نشانگر سر و صدای سفید تصادفی (سنسور در حالت بیکار ، تمام میکرو حرکات تجمعی تمایل به صفر)
• بین 0. 65 و 0. 85 یک سیگنال با همبستگی مثبت است ، به این معنی که حرکت دارای "حافظه" است: اگر حرکتی با شتاب معینی انجام شود ، به احتمال زیاد دوباره ظاهر می شود.
• بین 0. 85 و 1. 15 سیگنال دارای خاصیت فراکتال (خودکشی ، عاری از مقیاس) است ، به این معنی است
• بیش از 1. 15 یک سیگنال پیچیده است که در آن مقیاس بزرگتر است ، انحراف بیشتر است و آنها عاری از مقیاس نیستند.

سپس سیستم کنترل فراکتال هشتوس توصیه ای را بر اساس تعداد ایالت هایی که در طی یک دوره زمانی رخ داده اند (به عنوان مثال ، 2 دقیقه آخر) ارائه می دهد. اگر در منطقه "معمولی" خیلی زیاد بوده است ، توصیه می کند که شرکت کنندگان به دینامیک فراکتال تغییر دهند. اگر خیلی طولانی در دینامیک فراکتال بماند ، توصیه پیشنهاد می کند که به صورت تصادفی حرکت کنید.

در هشتOS ، ما هدف ما این است که در یک جلسه حرکتی از مأمورین مختلف آلفا عبور کنیم تا هم افراد و هم گروه بتوانند تمام حالتهای مختلف را تجربه کنند (تصادفی ، همبستگی مثبت ، شکستگی و اختلال).

این به اصل تنوع مربوط می شود و بخشی از تحقیقات مداوم ما در مورد زیبایی شناسی تغییر و پیامدهای اخلاقی آن است.

پیوست: تجزیه و تحلیل نوسان محروم

شاید جالب باشد که چگونه رویکرد تجزیه و تحلیل نوسان محروم [13] کار می کند ، زیرا نور بیشتری را به پدیده شکستگی می بخشد.

الگوریتم DFA موارد زیر را انجام می دهد:-داده های سری زمانی گسسته را بگیرید-آن را از بین ببرید و آن را عادی کنید (بنابراین مقادیر مثبت هستند و روندها حذف می شوند)-ما فقط نوسانات باقی مانده است-مبلغ مربع انحرافات را محاسبه کنیدمقیاس زمانی مختلف: کوتاه (به عنوان مثال کسری از ثانیه) و موارد بلند (به عنوان مثال چند ثانیه) - نمودار ورود به سیستم / ورود به سیستم را که در محور x ما اندازه مقیاس را داریم ، در محور Y که داریم ، بسازیدمبالغ نوسانات - مقادیر به دست آمده را ترسیم کرده و شیب خط را محاسبه می کند - این نماینده آلفا خواهد بود.

به زبان ساده ، Alpha Exponent نشان می دهد که با افزایش مدت زمانی که به آن نگاه می کنیم ، تجمع نوسانات در حرکت چقدر افزایش می یابد. اگر افزایش نوسانات به عنوان مقیاس زمانی افزایش یابد ، نماینده آلفا صفر است ، به این معنی که آنها همیشه به میانگین برمی گردند. اگر مقیاس را 4 بار افزایش دهیم اما تعداد نوسانات فقط 2 بار افزایش می یابد ، آنگاه آلفا-نماینده 0. 5 است و ما یک فرآیند تصادفی داریم. در یک فرآیند تصادفی ، نوسانات جمع می شوند ، اما عدم وجود نوسانات گاه به گاه با دامنه بالا ، مؤلفه آلفا را کاهش می دهد. حال اگر نوسانات گاه به گاه با دامنه بالا را به ارمغان بیاوریم ، به سمت یک فرآیند همبستگی مثبت حرکت خواهیم کرد: هرچه بیشتر حرکت کنیم ، نوسانات بیشتری جمع می کنیم. هنگامی که تعداد آن نوسانات با فرکانس بالا به اندازه کافی بالا باشد ، در واقع ، دقیقاً در "نقطه شیرین" مناسب ، ما به شکستگی خواهیم رسید. این بدان معناست که مهم نیست که به چه مقیاس نگاه می کنیم ، الگوی نوسان یکسان خواهد بود (بنابراین در مقیاس های مختلف یا "بدون مقیاس" خودکشی است). تغییر بیشتری را معرفی کنید ، و ما به وضعیتی نگاه می کنیم که مقیاس های بزرگ باعث ایجاد تعداد بسیار بالایی از تغییرات می شوند ، بنابراین حرکت فراکتال می شود (دیگر در مقیاس ها مشابه نیست).

منابع

[1] Yamada ، N. (1995). نوسان هرج و مرج وضعیت قائم. علم جنبش بشر.

[2] D'Mello ، S. ، Dale ، R. ، & Graesser ، A. (2011). عدم تعادل در ذهن ، ناهماهنگی در بدن. شناخت و احساسات ، 00 (00) ، 1-13.

[3] Rickles D ، Hawe P ، Shiell A. (2007) یک راهنمای ساده برای هرج و مرج و پیچیدگی. مجله Epidemilogoy & Community Health. 61: 933-937.

[4] T Kello ، G ، Anderson ، G ، Holden ، J ، Van Orden ، G. (2008) فراگیر بودن مقیاس گذاری 1/F در گفتار ، مبنای قابل توجهی از شناخت را نشان می دهد. علوم شناختی. 32: 1217-1231

[5] Matthey ، L. ، Righetti ، L. ، & Ijspeert ، A. J. (2008). مطالعه تجربی چرخه محدود و کنترل کننده های هرج و مرج برای حرکت روبات های Centipede. در سال 2008 کنفرانس بین المللی IEEE/RSJ در مورد روبات ها و سیستم های هوشمند (صص 1860-1865). خوب: IEEE.

[6] اتکینسون ، R ، رودز ، C ، مک دونالد ، D ، اندرسون ، R (2002) مقیاس - دینامیک بدون نسخه در الگوهای حرکتی شغال. Oikos: 98/1: 134-140

[7] Bystritsky ، A ، Nierenberg ، A A ، Feusner ، J. D. ، & Rabinovich ، M. (2012). روانپزشکی دینامیکی غیر خطی محاسباتی: یک الگوی روش شناختی جدید برای تشخیص و دوره بیماری. مجله تحقیقات روانپزشکی ، 46 (4) ، 428-435.

[8] Bak ، P. ، Tang ، C. ، & Wiesenfeld ، K. (1987). انتقاد خود سازمان یافته: توضیحی در مورد سر و صدای 1/ f. نامه های بررسی فیزیکی ، 59 (4) ، 381-384.

[9] Dierick F ، Nivard AL ، White O ، Buisseret F (2017) تجزیه و تحلیل فراکتال پیچیدگی و پیش بینی مستقل راه رفتن را نشان می دهد. PLOS ONE 12 (11): E0188711. https://doi. org/10. 1371/joual. pone. 0188711

[10] J. M. Hausdorff ، P. L. Purdon ، C. K. Peng ، Z. Ladin ، J. Y. Wei ، and A. L. Goldberger (1996) دینامیک فراکتال از راه رفتن انسان: پایداری همبستگی های دوربرد در نوسانات فاصله زمانی. مجله فیزیولوژی کاربردی ، 80: 5 ، 1448-1457

[11] Rabinovich M ، Trubetskov ، (2012). نوسانات و امواج.< Pan> [8] Bak ، P. ، Tang ، C. ، & Wiesenfeld ، K. (1987). انتقاد خود سازمان یافته: توضیحی در مورد سر و صدای 1/ f. نامه های بررسی فیزیکی ، 59 (4) ، 381-384.