بینش ریاضی

واگرایی و پیچ و مهره یک میدان بردار دو اپراتور بردار است که با مشاهده یک میدان بردار به عنوان جریان یک سیال یا گاز ، خواص اساسی آنها را می توان به صورت هندسی درک کرد. واگرایی در یک صفحه همراه بحث شده است. در اینجا ما یک مرور کلی از خواص اساسی حلقه ارائه می دهیم از آنچه می توان از جریان سیال استفاده کرد.

حلقه یک میدان بردار این ایده را که چگونه یک مایع می تواند بچرخد ، ضبط می کند. تصور کنید که قسمت بردار زیر $ dlvf $ نشان دهنده جریان سیال است. قسمت بردار نشان می دهد که مایع در اطراف یک محور مرکزی در حال گردش است.

دستگاه بارگیری اپلت

یک میدان بردار چرخان. اگر میدان بردار به عنوان سرعت جریان سیال تعبیر شود ، به نظر می رسد مایع در محافل جریان می یابد. از منظر اصلی نمودار (یعنی قبل از چرخش آن با ماوس) ، به نظر می رسد که این مایع به روشی ضد عقربه های ساعت گردش می کند. اگر نمودار را بچرخانید ، ممکن است نقاطی را که در امتداد محور چرخش شناور هستند ، مشاهده کنید. این نقاط بازنمایی بردارهای با طول صفر هستند ، زیرا سرعت در آنجا صفر است.

این گردش ماکروسکوپی مایعات در اطراف محافل (یعنی چرخش که می توانید به راحتی در نمودار فوق مشاهده کنید) در واقع چیزی نیست که اقدامات CURL انجام شود. اما ، معلوم می شود که این قسمت بردار نیز دارای فرفری است که ممکن است از آن به عنوان "گردش میکروسکوپی" فکر کنیم. برای آزمایش حلقه ، تصور کنید که یک کره کوچک را در جریان سیال غوطه ور می کنید ، و مرکز کره را در بعضی از نقاط برطرف می کنید تا کره نتواند مایع اطراف آن را دنبال کند. اگرچه مرکز کره را برطرف می کنید ، اما به کره اجازه می دهید تا از هر جهت در اطراف نقطه مرکزی آن بچرخد. چرخش چنین کره ای در اپلت زیر نشان داده شده است. چرخش کره ، حلقه قسمت بردار $ dlvf $ را در نقطه ای از مرکز کره اندازه گیری می کند.(کره واقعاً باید واقعاً کوچک باشد ، زیرا ، به یاد داشته باشید ، حلقه گردش میکروسکوپی است.)

دستگاه بارگیری اپلت

کره ای که توسط یک میدان بردار چرخان چرخانده شده است. یک کره در یک مایع چرخان تعبیه شده است که سرعت آن توسط میدان بردار داده می شود. وسط کره به یک نقطه (در اصل ، مبدا) لنگر می رود ، اما مجاز به چرخش با مایع است. چرخش کره توسط مایع نشانه ای از حلقه میدان بردار است. می توانید با کشیدن آن با ماوس ، نقطه ای را که کره لنگر می زند ، حرکت دهید.

قسمت بردار $ DLVF $ هم در چه جهتی در چرخش کره و سرعت چرخش آن تعیین می کند. ما حلقه $ dlvf $ را تعریف می کنیم ، با یک وکتور که در امتداد محور چرخش قرار می گیرد و طول آن با سرعت چرخش مطابقت دارد ، مشخص شده است.(از آنجا که حلقه یک بردار است ، بسیار متفاوت از واگرایی است که یک مقیاس است.)

ما می توانیم بردار مربوط به $ curl dlvf $ را به شرح زیر ترسیم کنیم. ما طول بردار $ curl dlvf $ متناسب با سرعت چرخش کره را می سازیم. جهت $ curl dlvf $ در امتداد محور چرخش ، اما ما باید مشخص کنیم که در کدام جهت در طول این محور وکتور باید نشان دهد. ما (به طور خودسرانه؟) با استفاده از "قانون دست راست" جهت بردار حلقه را تنظیم خواهیم کرد. برای دیدن اینکه $ curl dlvf $ باید به کجا اشاره کند ، انگشتان دست راست خود را در جهت چرخش کره حلقه کنید. انگشت شست شما به جهت $ curl dlvf $ اشاره خواهد کرد. به عنوان مثال ، $ curl dlvf $ توسط فلش سبز نشان داده شده است.

دستگاه بارگیری اپلت

یک کره چرخان که نشانگر وجود حلقه است. فلش سبز در امتداد محور چرخش کره ، حلقه میدان بردار است. می توانید نمودار را بچرخانید تا پیکان سبز را بهتر ببینید. طول فلش با سرعت چرخش مطابقت دارد و جهت فلش با قانون دست راست تعیین می شود. می توانید با کشیدن آن با ماوس ، نقطه ای را که کره لنگر می زند ، حرکت دهید. برای این مثال ، حلقه در سراسر میدان وکتور ثابت است ، بنابراین پیکان سبز و چرخش کره بدون تغییر در هنگام حرکت کره در اطراف خود بدون تغییر باقی می ماند.

برای این قسمت بردار خاص ، معلوم می شود که $ curl dlvf $ با موقعیت تغییر نمی کند (البته این به طور کلی صحیح نیست). به عنوان مثال ، اگر کره را به مکان دیگری منتقل کنیم ، هنوز هم با همان سرعت در همان جهت می چرخد. توجه کنید که اگر کره را به مکانی متفاوت در اپلت های فوق منتقل کنید ، کره به همان روش می چرخد.(برای اطلاعات بیشتر به صفحه اپلت مراجعه کنید.)

حلقه یک بردار سه بعدی است و هر یک از سه مؤلفه آن ترکیبی از مشتقات قسمت بردار $ dlvf $ است. می توانید در مورد آن بخوانید که می توانید از همان حوزه های ریسندگی استفاده کنید تا بینش در مورد اجزای بردار $ curl dlvf $ کسب کنید. فرمول اجزای حلقوی ممکن است در ابتدا زشت به نظر برسد و برخی از نمادهای هوشمندانه می توانند به شما در یادآوری فرمول کمک کنند. پس از داشتن فرمول ، محاسبه حلقه یک قسمت بردار یک ماده ساده است ، همانطور که توسط این مثال نشان داده شده است.

گمراه نشوید

ارائه ایده Curl از طریق تصاویر با یک هشدار مهم همراه است. باید به خاطر داشته باشید که تصاویر می توانند فریب دهنده باشند. به طور خاص ، ممکن است به طور نادرست فکر کند که حلقه به دلیل گردش ماکروسکوپی قسمت بردار است که فرد به راحتی در تصاویر فوق متوجه می شود. اخطار داده شود که این فرض از حقیقت دور است! اگر فکر می کنید ممکن است بین گردش میکروسکوپی حلقه و گردش ماکروسکوپی که می توان از یک تصویر مشاهده کرد ، سردرگم شوید ، ما از شما می خواهیم که برخی از ظرافت ها را در مورد فرفری که ممکن است به شما در درک واقعی کمک کند ، بررسی کنید.

ناوبری نخ

حساب چند متغیره

• قبلی: ظرافت در مورد واگرایی
• بعدی: ظرافت در مورد Curl

ریاضی 2374

• قبلی: ایده واگرایی یک قسمت بردار*
• بعدی: واگرایی و نماد حلقه